Fractales / Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Construcción
Nuestro próximo fractal clásico es aproximadamente 40 años más joven que el conjunto de Cantor. Este fue introducido por el gran matemático polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) en 1916.
La construcción geométrica básica del triángulo de Sierpinski es la siguiente:
- Comenzamos con un triángulo en el plano y luego aplicamos un esquema repetitivo de operaciones (cuando
decimos triángulo, nos referimos a un triángulo con relleno negro).
- Elige los puntos medios de sus tres lados. Junto con los antiguos vértices del triángulo original,
estos
puntos medianos definen cuatro triángulos congruentes de los cuales extraemos el centro.
- Esto completa el paso básico de la construcción. En otras palabras, después del primer paso tenemos tres triángulos congruentes cuyos lados tienen exactamente la mitad del tamaño del triángulo original y que tocan tres puntos que son vértices comunes de dos triángulos contiguos.
- Ahora seguimos el mismo procedimiento con los tres triángulos restantes y repetimos.
- Supongamos que el perímetro inicial del triángulo es P0 = ρ
- Cuando dividimos el triángulo inicial en 4 triángulos todos ellos de igual perímetro, y retiramos el triángulo central el perímetro será P1 = (4/3)ρ.
- Cuando dividimos los triángulos más pequeños cada uno en 4 triángulos de igual perímetro, cada uno de los nuevos triángulos tendrá perímetro 1/3 del perímetro del triángulo de la parte (2) (que también pasa a ser 1/3). Así que el perímetro de estos triángulos aún más pequeños es 1/3×1/3 = 1/9. Por otra parte, existen 4×4 = 16 de estos triángulos. Así que el perímetro será P2 = (4/3)2ρ.
- Podemos ver que en el paso n, el perímetro será Pn = (4/3)nρ. Esto significa que el perímetro del paso anterior se multiplica por 4/3. Así que después de hacer este proceso hasta el infinito, el perímetro total convergerá al infinito.
- Supongamos que el área inicial del triángulo es A0 = λ
- Cuando dividimos el triángulo inicial en 4 triángulos todos ellos de igual tamaño, y retiramos el triángulo central el área será A1 = (3/4)λ.
- Cuando dividimos los triángulos más pequeños cada uno en 4 triángulos de igual tamaño, cada uno de los nuevos triángulos tendrá área 1/4 del área del triángulo de la parte (2) (que también pasa a ser 1/4). Así que el área de estos triángulos aún más pequeños es 1/4×1/4 = 1/16. Por otra parte, existen 3×3 = 9 de estos triángulos. Así que el área será es A2 = (3/4)2λ.
- Podemos ver que en el paso n, el área será An = (3/4)nλ. Esto significa que el área del paso anterior se multiplica por 3/4. Así que después de hacer este proceso hasta el infinito, el área total será cero.