Fractales / Conjunto de Cantor
Conjunto de Cantor
Construcción
- Comience con el intervalo cerrado [0,1].
- Ahora retire el intervalo abierto (1/3,2/3), es decir, retire el tercio medio de [0,1], pero no los números 1/3 y 2/3.
- Esto deja dos intervalos [0, 1/3] y [2/3,1] de longitud 1/3 cada
uno y esto completa una etapa de construcción básica.
- Ahora repitamos, observamos los intervalos restantes [0,1/3] y [2/3,1]
y remueva sus tercios medios, lo que produce cuatro intervalos de longitud 1/9.
- Continúe de esta manera. En otras palabras, hay un proceso de retroalimentación en el que se genera una secuencia de intervalos cerrados.
Esto es fácil de mostrar: en el paso uno, la longitud total es 1. En el paso 2 es 1/3+1/3 = 2/3. Así, en la etapa 3, la longitud es (2/3)2, y en la etapa n es (2/3)n. Cuando n → ∞ esto tiende a cero. Por lo tanto, la longitud acumulativa total del conjunto de Cantor es cero.
En el primer paso de la construcción básica tenemos un intervalo, dos después del segundo paso, cuatro después del tercer paso, ocho después del cuarto paso, etc. Es decir, 2n intervalos de longitud 1/3n después del enésimo paso.