Fractales / Triángulo de Cantor
Triángulo de Cantor
Construcción
Realice las siguientes instrucciones:
- Comience con un triángulo equilátero (por ejemplo 1 cm de lado).
- Sobre cada uno de los lados aplique la construcción básica de Cantor.
- En cada vértice, con el par de segmentos formados, complete un triángulo.
- Repita este proceso sobre cada uno de estos triángulos generados en las esquinas.
- Al terminar, vuelve a aplicar la construcción básica sobre cada uno de los nuevos triángulos.
Para mayor comodidad trabajaremos con un triángulo equilátero de lado L. Por lo tanto, el perímetro inicial será P0 = 3L.
En la primera iteración obtenemos 3 nuevos triángulos de lado L/3. Por lo tanto, el perímetro en esta etapa es P1 = 3×3L/3 = 3L
Si continuamos con este razonamiento podemos ver que para cualquier etapa k el perímetro permanece constante. Es decir, Pk = 3L para cualquier k.
Por simplicidad trabajaremos con un triángulo equilátero de lado L.
- En el estado inicial el área de dicho triángulo será A0 = (L2√3)/4
- Cuando realizamos la idea básica de Cantor a cada lado del triángulo obtenemos 3 triángulos todos
ellos de igual tamaño,
el área de cada nuevo triángulo será:
Pero como hemos obtenido 3 nuevos triángulos. Por lo tanto, el área total será A1 = (1/3)A0.1
2L
31
2L√3=
31
9L2√3=
41A0.
9 - Cuando aplicamos la idea básica de Cantor a los triángulos más pequeños de igual tamaño, cada uno de los nuevos 3 triángulos tendrá área 1/9 del área del triángulo de la parte (2) (que también pasa a ser (1/9)A0). Así, el área de estos triángulos aún más pequeños es (1/9)×(1/9)A0 = (1/81)A0. Por otra parte, existen 3×3 = 9 de estos triángulos. Así, el área será A2 = (1/3)2A0.
- Podemos ver que en el paso n, el área será An = (1/3)nA0. Esto significa que el área del paso anterior se multiplica por 1/3. Por lo tanto, después de hacer este proceso hasta el infinito, el área total será cero.