Maravillas

El copo de nieve de Koch es generado por una sucesión infinita de adiciones. Esta vez comenzaremos con la frontera de un triángulo equilátero cuya longitud de lado será 1.

El primer paso en el proceso es eliminar el tercio medio de cada lado del triángulo, tal como lo hicimos en la construcción del conjunto Cantor. Esta vez, sin embargo, reemplazamos cada una de estas piezas con dos piezas de longitud 1/3, dando lugar a la región en forma de estrella representada en la siguiente figura.

Esta nueva figura tiene doce lados, cada uno de longitud 1/3. Ahora iteramos este proceso. De cada uno de estos lados quitaremos el tercio medio y lo reemplazaremos con un "bulto" triangular hecho de dos pedazos de longitud 1/9.

Continuamos este proceso una y otra vez. El resultado final es una curva infinitamente ondulada - no hay ninguna línea recta en ella en absoluto. Este objeto se llama el copo de nieve de Koch

Este fractal tiene una característica geométrica asombrosa: ¡Tiene área finita pero su parámetro es infinito! Esto significa que podemos pintar el interior del copo de nieve koch, pero nunca podemos envolver una longitud de cuerda alrededor de su frontera! Esto contrasta mucho con las formas habituales encontradas en la geometría, tales como cuadrados y círculos, que tienen área y perímetro

Dado que el copo de Nieve esta formado por 3 curvas de Koch, podemos deducir que el copo de nieve tiene también perímetro infinito.