Fractales / Polvo de Cantor
Povo de Cantor
Construcción
La idea básica para elaborar el conjunto de Cantor a partir de un segmento es: dividir el segmento en tres partes iguales y suprimir la parte central. Realice las siguientes instrucciones:
- Dibuje un cuadrado de lado arbitrario, por ejemplo 1cm.
- Sobre cada uno de los lados aplique la construcción básica para el conjunto de Cantor.
- Con cada par de segmentos que forman las esquinas construya un cuadrado.
- En cada uno de los cuadrados de la esquina realice nuevamente las instrucciones 3 y 4.
- Supongamos que el perímetro inicial del cuadrado es P0 = ρ
- En la primera iteración el perímetro de cada nuevo cuadrado es la tercera parte del cuadrado inicial, es decir, (1/3)ρ, pero como tenemos 4 nuevos cuadrados, entonces el perímetro será P1 = (4/3)ρ.
- En la segunda iteración cuando dividimos los nuevos cuadrados más pequeños cada uno en 4 cuadrados de igual perímetro, cada uno de los nuevos cuadrados tendrá perímetro 1/3 del perímetro del cuadrado de la parte (2) (que es (1/3)ρ). Así, el perímetro de estos cuadrados aún más pequeños es 1/3×(1/3)ρ = (1/9)ρ. Por otra parte, existen 4 × 4 = 16 de estos cuadrados. Así, el perímetro será P2 = (4/3)2ρ.
- Podemos ver que en el paso n, el perímetro será Pn = (4/3)nρ. Esto significa que el perímetro del paso anterior se multiplica por 4/3. Por lo tanto, después de hacer este proceso hasta el infinito, el perímetro total convergerá al infinito.
- Cuando dividimos el cuadrado en 9 cuadrados más pequeños, de igual tamaño, cada nuevo (menor) cuadrado tendrá área 1/9. Si eliminamos 6, quedarán 4. Así, el área de la nueva figura será 4/9.
- Cuando dividimos los cuadrados más pequeños cada uno en 9 cuadrados de igual tamaño, cada uno de los nuevos cuadrados tendrá área 1/9 del área del cuadrado de la parte (1) (que también pasa a ser 1/9). Así, el área de estos cuadrados aún más pequeños es 1/9 × 1/9 = 1/81. Por otra parte, existen 4 × 4 = 16 de estos cuadrados. Así, el área de la figura es (4/9)2 = 16/81.
- Cuando dividimos cada uno de estos nuevos cuadrados en 9 cuadrados más pequeños, de igual tamaño, cada cuadrado nuevo tendrá área 1/9 del área del cuadrado de la parte (2), que es 1/92. Así, el área de estos cuadrados aún más pequeños es 1/9 × 1/92 = 1/93 = 1/729. Además, existen 4 × 4 × 4 = 64 de estos cuadrados. Así, el área de la figura es (4/9)3 = 64/729.
- Podemos ver que en el paso n, el área será (4/9)n. Esto significa que el área del paso anterior se multiplica por 4/9. Por lo tanto, después de hacer este proceso hasta el infinito, el área total será cero.