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Perfección en matemáticas

¿Qué es perfecto en matemáticas, un tema en el que la mayoría piensa que todo es perfecto? A lo largo de los años, se ha encontrado que varios autores nombran cuadrados perfectos, números perfectos, rectángulos perfectos y triángulos perfectos. Podrías pedir a tus alumnos que traten de añadir a la lista de perfección. ¿Qué otras cosas matemáticas pueden ser dignas del adjetivo perfecto?

Comience con los cuadrados perfectos. Son bien conocidos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,…. Son números cuyas raíces cuadradas son números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….

Un número perfecto es aquel que tiene la propiedad de que la suma de sus factores (excluyendo el número en sí) es igual al número. Los primeros cuatro números perfectos son

Los números perfectos eran conocidos por los antiguos griegos. Curiosamente, los griegos sentían que había exactamente un número perfecto para cada grupo de dígitos de números. Los primeros cuatro números perfectos parecían ajustarse a este patrón; Entre los números de un solo dígito, el único número perfecto es 6, entre los números de dos dígitos, solo hay 28, 496 es el único número perfecto de tres dígitos y 8128 es el único número perfecto de cuatro dígitos. Trate de preguntar a sus alumnos que prediquen el número de dígitos del siguiente número perfecto mayor. Sin duda, dirán que debe ser un número de cinco dígitos. Además, si pide a sus estudiantes que hagan otras conjeturas sobre números perfectos, pueden concluir que los números perfectos deben terminar en un 6 o un 8 alternativamente.

De hecho, no hay número perfecto de cinco dígitos en absoluto. Esto debe enseñar a los estudiantes a ser cautelosos acerca de hacer predicciones con relativamente poca evidencia. El siguiente número perfecto mayor tiene ocho dígitos: 33 550 336. Entonces debemos dar un gran salto al siguiente número perfecto: 8 589 869 056.

Los rectángulos perfectos son aquellos cuyas áreas son numéricamente iguales a sus perímetros. Sólo hay dos rectángulos perfectos, a saber, uno con lados de longitud 3 y 6, y el otro con lados de longitudes 4 y 4.

También hay triángulos perfectos. Estos se definen como triángulos cuyas áreas son numéricamente iguales a sus perímetros. Los estudiantes deben ser capaces de identificar los triángulos rectos que se ajustan a ese patrón simplemente estableciendo el área y fórmulas perimétricas iguales entre sí. Entre los triángulos rectos, solo hay dos triángulos, uno con lados de longitudes 6, 8 y 10, y el otro con lados de longitudes 5, 12 y 13.

Entre los triángulos no rectos, solo hay tres cuyas áreas son numéricamente iguales a su perímetro. Son

Estos tres casos pueden ser verificados usando la fórmula de Heron:

Donde a, b, y c son las longitudes de los lados y s es el semi-perímetro.

¿Qué hace esto por nosotros? Muy poco, excepto para permitirnos apreciar la perfección en matemáticas.

El hermoso cuadrado mágico

Hay libros enteros escritos sobre cuadrados mágicos de todo tipo. Hay un cuadrado mágico, sin embargo, que se destaca del resto por su origen y las muchas propiedades que tiene más allá de las requeridas para una matriz cuadrada de números que se consideran "magia". Este cuadrado mágico llega hasta nosotros a través del arte y no a través de los canales matemáticos habituales. Se representa en el fondo del grabado famoso producido en 1514 por el artista alemán renombrado Albrecht Dürer (1471-1528), que vivió en Nürnberg, Alemania.

Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada de números, donde la suma de los números en cada una de sus columnas, filas y diagonales es la misma. Sólo para la práctica, es posible que sus estudiantes traten de construir un cuadrado mágico de 3 por 3. Aquí está la solución (para su conveniencia).

Puede pedirles que construyan un cuadrado mágico de 4 por 4. Después de haber tenido tiempo suficiente para construir este cuadrado mágico, comience la discusión de la plaza Dürer. La mayor parte de las obras de Dürer fueron firmadas por él con sus iniciales, una sobre la otra, con el año en que se hizo la obra allí. Aquí la encontramos cerca del lado inferior derecho de la imagen. Notamos que se hizo en el año 1514. Los estudiantes astutos pueden notar que las dos celdas centrales de la fila inferior representan el año también. Veamos más de cerca este cuadrado mágico.

Primero, asegúrese de que es un cuadrado mágico. Las sumas de todas las filas, todas las columnas y las dos diagonales deben ser iguales. Bueno, ellos son, cada uno tiene una suma de 34. Así que eso es todo lo que se requeriría para que esta matriz cuadrada de números sea considerada un cuadrado mágico. Sin embargo, este cuadrado mágico de Dürer tiene muchas más propiedades que otros cuadrados mágicos no tienen. Vamos a enumerar algunas aquí.

1. Los cuatro números de esquina tienen una suma de 34:
   16 + 13 + 1 + 4 = 34
2. Cada una de las cuatro esquinas de 2 por 2 cuadrados tiene una suma de 34:
   16 + 3 + 5 + 10 = 34
   2 + 13 + 11 + 8 = 34
   9 + 6 + 4 + 15 = 34
   7 + 12 + 14 + 1 = 34
3. El centro de 2 por 2 cuadrados tiene una suma de 34:
   10 + 11 + 6 + 7 = 34
4. La suma de los números en las celdas diagonales es igual a la suma de los números en las celdas que no están en las diagonales:
   16 + 10 + 7 + 1 + 4 + 6 + 11 + 13 =
   3 + 2 + 8 + 12 + 14 + 15 + 9 + 5 = 68.